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          當幾何遇上物理:地球是個拓撲絕緣體?

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          物理學發展到20世紀,數學中的幾何被引入到物理理論中。愛因斯坦借助黎曼幾何構建了廣義相對論,楊振寧發現規范場與纖維叢的對應關系,而到1980年代后拓撲量子場論的誕生,又將物理學推向了新的高峰。幾何理論和相關概念在物理理論中大顯身手,以至于有很多人說“物理就是幾何”。如今這些由幾何誕生的物理概念,已經深入到大氣科學、信息科學等許多領域,也為幾何學帶來新的生命力。

          撰文 | 董唯元

          物理理論經常會被跨領域借鑒使用。近幾年氣象學家在研究海洋和大氣波動規律時,將地球類比為拓撲絕緣體[1-3],從而借助物理學家研究拓撲相變的方法和結論,深刻理解了赤道開爾文波的形成機制。

          開爾文波是一種因地球自轉偏向力(即科里奧利力)而形成的海洋和大氣波動。其最大的特點就是群速度與相速度相同,所以這種波不會在行走的過程中耗散,能夠跨越數千公里持續搬運能量,是形成厄爾尼諾等氣候現象的重要因素之一。

          其實這種波早在1879年就已被發現,并以發現者命名。沒錯,發現者正是那位科學全才——開爾文勛爵,絕對溫標也是以他名字命名的。相信老勛爵一定不會想到,100多年后他所發現的海洋和大氣波動,竟然以如此奇特的方式與現代物理學產生聯系。即使老勛爵乘坐時光機來到當下,估計也不能快速理解為什么開爾文波竟然是一種“拓撲保護下的激發”。

          現代物理學中幾乎無處不浸染著幾何概念和幾何語言,其深度和廣度是十九世紀的物理學家根本無法想象的。

          微分幾何進入物理學

          1915年橫空降世的廣義相對論,是物理學幾何化的第一個里程碑,微分幾何從此成為物理學家必須掌握的一門數學語言。

          既然引力的本質是時空彎曲,引力場強是時空曲率,那么擺弄彎曲流形的學問,自然成了學習廣義相對論的首要預備知識。所謂流形(manifold),可以認為就是各種各樣的圖形。比如土豆的表面是2維流形,而廣義相對論所研究的時空則是4維流形。

          為了能夠計算,必須得在流形上建立坐標系。如果流形本身形狀比較奇怪,或者坐標系覆蓋能力有限,僅用一個坐標系無法覆蓋流形上所有的點,那么就需要在流形上選取多個點,每個點都可以建立局部坐標系覆蓋周邊鄰居,再把所有局部坐標系拼貼起來以覆蓋整個流形。

          比如,以地球某時刻為原點的4維笛卡爾坐標系,就無法覆蓋到遠處黑洞的內部,即使經歷無窮長時間也只能到達很靠近黑洞視界的地方。然而這并不意味著時空本身在視界處被撕裂??拷诙匆暯绲挠詈絾T可以以他自己的位置和某時刻為原點建立新的坐標系,這個坐標系既與我們的坐標系有交疊,又同時與黑洞內的其他坐標系有重合。借助多個坐標系共同承托,就可以畫出一條光滑的世界線,連接地球和黑洞內部,從而看出視界處時空本身仍然完好無損。

          另外,要想討論曲率,得先讓流形固定不動,蠕動著的水母表面顯然不會有確定的曲率。而定型的含義等價于“流形上任意兩點之間存在確定的距離”,于是流形上關于距離的定義必然要先于曲率的定義。

          叫作“度規”(metric),它回答了流形上每點與臨近的點之間該如何計算距離的問題。如果流形上每一點都有了自己的度規,那么整個流形也就被“石化”了,此時才可以計算曲率。

          數學上對曲率的定義有若干種,物理學家最喜歡使用黎曼的定義方式。黎曼曲率可以用向量在移動過程中的變化來體會,所以在了解它之前,我們還需要先了解流形的彎曲會對向量的移動造成什么影響。

          平直空間中向量可以隨便平移都不會發生改變,可是在彎曲空間中這種自由就不存在了。例如在上圖所示的球面上移動向量,同樣從赤道上出發開始“平動”(注意2維球面內的向量方向只能切于球面),經過橙色路徑后到達北極的指向與經過藍色路徑到達北極的指向并不相同,這就是由球面的彎曲造成的效果。

          黎曼曲率就是利用這種效果來定義流形上每點的曲率。具體做法是讓

          這顯然是一個映射,從三個向量到一個向量的映射。提供這種映射功能的“機器”叫作張量(tensor),黎曼曲率就是張量,所以也被稱為黎曼張量。順便提一下,前面說到的度規也是張量。其實整個廣義相對論方程就是張量方程。

          纖維叢與規范場

          1954年閃亮登場的楊-米爾斯理論,為后續物理學幾何化的第二次浪潮埋下了伏筆。十幾年之后,物理學家突然發現纖維叢正是描述這一理論最恰當的語言。

          所謂纖維叢(Fiber bundle),可以簡單粗暴地理解為渾身長毛的流形,每根毛對應底流形上一點。這里的毛,也就是纖維,具有頗為抽象的內涵,在不同的纖維叢理論中代表流形身上不同的附加物。這些附加物既可以是天生的,也可以是后天裝飾上去的。

          最直觀的一種纖維,就是流形上每一點的切空間(tangent space),顧名思義是此點處所有向量生活的空間。下圖左側畫出的是個具體例子,其中底流形M是2維球面,藍色平面是M上P點的切空

          種關系的抽象畫法。

          前面在介紹曲率的時候曾經含混地提到向量在流形上的“平動”,其實

          切叢的概念直觀易懂,但還不是物理學家的強大武器,真正使物理學家愛不釋手的,是一種能夠包含對稱性的纖維叢。因為它過于核心重要,所以干脆被命名為主叢(principal bundle)。

          談論對稱性時,我們需要注意區分全局對稱性(global symmetry)和局域對稱性(local symmetry)這兩個完全不同的概念。前者是整個流形總體所擁有的對稱性,而后者則是每個點各自具備的屬性。后面的內容會展示出,局域對稱性在物理中的重要地位要遠大于全局對稱性。

          描述對稱性的數學語言是群,每一種對稱性都對應特定的群。例如O(n)群和SO(n)群對應著n維實數空間中的旋轉對稱,而U(n)群和SU(n)群則代表n維復數空間中的旋轉對稱。

          我們所身處的3維空間中,任何轉動操作都可以拆解為繞x、y、z軸轉動這三種基本操作的某種組合。也就是說,如果把SO(3)群自己也看作一個空間的話,維數恰好也是3維??墒荢O(4)群卻不同,4維空間中的轉動由6種基本操作組合而成[4],所以SO(4)群本身的維數是6不是4。

          群本身也可以被看作一個空間,就像那個直觀的切空間一樣,所以也就能當作纖維插在底流形上,只不過每根纖維所代表的空間與底流形可能具有不同的維度數量。

          這種插著群結構的纖維叢就是主叢。纖維所代表的局域對稱性意味著,底流形上的函數Φ(x),沿著纖維變動時,每個點上Φ(x)的值保持不變,所以主叢上的不同截面對Φ(x)來說是等價的。在物理上,像Φ(x)這樣具有局域對稱性的場統稱為規范場(gauge field)。

          在物理學家眼中,時空本身就是一個纖維叢,各種基本相互作用就源自各種規范場,也就是攜帶不同對稱群的主叢的聯絡。引力場對應SO(3, 1),電磁場和弱力對應U(1)×SU(2),強力對應SU(3)。

          后面兩者合并起來,攜帶U(1)×SU(2)×SU(3)結構的主叢整體是一個大空間,在這個空間里,宇宙中除引力之外的其他相互作用都漂亮地合并為一個對象。這就是堪與廣義相對論比肩的楊-米爾斯理論,是基本粒子標準模型最重要的理論基石。

          來自拓撲理論的加持

          拓撲學常被戲稱為玩弄橡皮泥的科學,它并不關心幾何圖形具體的形狀或大小,而只關注圖形在連續變化過程中那些不變的成分??Х缺梢赃B續地變成甜甜圈,所以在拓撲視角看來,咖啡杯與甜甜圈就是同一種對象,因為二者身上孔洞的數量相同。顯然,孔洞的數量就是一種拓撲不變量。

          不過數學家在說某甲和某乙在拓撲意義上相同時,會使用不同的術語來表達“相同”這個含義,常見的有同構、同胚、同態、同倫、同調等等。由此可以窺見,拓撲理論并不像捏橡皮泥那么簡單。

          另外,在數學這棵大樹上,拓撲理論的位置并不是邊界清晰的某一分支,甚至不僅限于幾何學領域之內,而更像是四處纏繞的藤蔓。也正因如此,它往往能在許多問題上發揮出避繁就簡的奇特威力。

          有個名為“毛球定理”的有趣定理,內容是說,偶數維球面上的光滑切向量場必有零點。這個定理的2維情形非常直觀,其實就是說永遠無法完全撫平一個毛球,定理的名字正是因此而得。

          作為對比,我們可以同樣直觀地看到,圓環面上的切向量場就可以處處非零,這說明流形的整體拓撲性質與其上向量場的特性有密切聯系。

          如果讀者感覺這個定理不過如此的話,不妨考慮由點源發出的電磁波,其波陣面就是一個2維球面,而且電磁波是橫波,場強方向總是切于波陣面。根據毛球定理,在波陣面上必有場強零點[5]??墒?,波陣面上的每一點都有相同的振動相位,而且對點源來說,都是完全對稱的。是不是嗅到了魔術的味道呢?

          當電磁波在某些特殊介質中傳播的時候,其參數空間中也會出現這種適用毛球定理的情形。盡管描述動力學過程的一堆偏微分方程難以求解,但是僅憑拓撲性質就可以判斷零點一定會出現。這種純粹由拓撲性質所催生的特殊點往往對應著某種“拓撲激發”。

          拓撲理論之所以能夠發揮出巨大威力,憑借的是將各種拓撲不變量與物理場中的各種積分結果建立起聯系。從文章前面的部分已經提過,物理場中的場強對應幾何意義上的曲率,距離關系對應著度規。如果物理場中的某種積分結果與場強和積分路徑長度都無關,那么翻譯成幾何語言就是,結果無關流形的曲率和度規,所以即使這個流形像水母一樣蠕動起來,積分結果也不會變化,那么這個結果應該就只由流形的某種拓撲不變量決定。

          基于這樣的思想,物理學家非常熱衷于研究各種各樣的積分結果,尤其是閉合環路或者閉合曲面上的積分結果。如果確實發現了某個與場強和路徑長度都無關的物理量,人們就會興沖沖地跑去拓撲學的倉庫中尋找與之相關的拓撲不變量。

          關于積分路徑,聰明的物理學家們肯定不甘心手工逐個慢慢嘗試,而是喜歡運用能夠“批發”的研究策略。

          我們先從一個傻問題開始。在一個平面上,從一個定點出發,畫一個閉合的曲線并最終回到定點,能有多少種畫法呢?答案很明顯,任意兩種畫法之間都是拓撲意義上相同的,用術語來說,所有路徑都是同倫的。

          如果在平面上挖去一個洞,所有的路徑顯然就不再同倫,因為有些路徑可以收縮成一點,而有些路徑在收縮時會被洞擋住,無法收縮成一點。我們發現所有的路徑可以按照繞洞圈數分成若干類,繞洞圈數相同的路徑之間都同倫。

          群可以用所有整數來表示,每個整數代表繞數為該整數的同倫路徑,因為繞行有分順時針和逆時針,可以兩相抵消,所以天然存在負整數的繞數。

          就不做介紹了,只稍微提一下流形上的孔洞數量,以及剛才那個一筆畫游戲中的纏繞數,這些都是典型的拓撲不變量。此外繩結理論中對繩結的分類等,也屬于拓撲不變量。

          最直觀的一個拓撲不變量是小學奧數中就已經出現過的“歐拉示性數”,3維凸多面體總滿足V-E+F=2,其中V是頂點數,E是棱邊數,F是面數。因為3維凸多面體的表面都同態于2維球面,所以它們都擁有

          不過歐拉示性數相同的流形未必全都同態,比如1維環、2維環面、莫比烏斯帶和克萊因瓶,這些流形的歐拉示性數都是0,但它們顯然不同態,甚至一些基本屬性都大相徑庭。

          除了歐拉示性數之外,還有許許多多的拓撲不變量,受篇幅和本人學識所限,就不再列舉了。但有一個對現代物理學非常重要的拓撲不變量必須得提,那就是陳-西蒙斯作用量(Chern-Simons action)。

          從這個名字就能看出,這個拓撲不變量天然就對應一個物理上的積

          普通的積分,而是生成整個物理場一切動力學屬性的核心,從最小作用量原理出發推導出運動方程的套路相信許多讀者都已經爛熟于胸了。

          至于這個拓撲不變量為什么天然對物理學如此友好,那是因為它出自物理學家之手——由目前唯一獲得過菲爾茲獎的物理學家威滕所發展而來。當然,他的工作基礎大量來自于陳省身等人前期成果,尤其是一個名為“陳-西蒙斯3-形式”的數學對象,所以這套由威滕等人引入物理學的理論,仍被稱為“陳-西蒙斯理論”。

          正是以此為核心,威滕和施瓦茨等人為量子場論開辟出了一個全新的分支——拓撲量子場論(TQFT)。從某種意義上說,拓撲量子場論的出現,也進一步加重了整個現代物理學的幾何色彩。

          小結

          在近幾十年的發展過程中,現代物理學與現代幾何理論不僅相輔相成共同成長,而且還一同發展出許多通用性更強大的理論工具,廣泛服務于信息科學、經濟學、社會科學等領域。文章開頭提到的氣象學研究成果,正是拓撲量子場論為這一領域做出的貢獻。

          楊振寧曾經對陳省身說:“非交換的規范場與纖維叢這個美妙的理論在概念上的一致,對我來說是一大奇跡。特別是數學家在發現它時沒有參考物理世界。你們數學家是憑空想象出來的?!标愂∩韰s立刻加以否認:“不,不,這些概念不是憑空想象出來的,它們是自然的,也是真實的!”

          參考文獻及注釋

          [1] Delplace, P., Marston, J. B., & Venaille, A. (2017). Topological origin of equatorial waves. Science, 358(6366), 1075–1077. https://doi.org/10.1126/science.aan8819

          [2] Tong, D. (2022). "A Gauge Theory for Shallow Water". arXiv:2209.10574.

          [3] McCormick, Katie (July 18, 2023). "How Quantum Physicists Explained Earth's Oscillating Weather Patterns". Quanta Magazine.

          [4] 4維空間中的轉動軸是一個面而不是一條線,4條坐標軸兩兩組合,共有6個基本軸面。

          [5] Bormashenko, Edward (2016-05-23). "Obstructions imposed by the Poincaré–Brouwer ("hairy ball") theorem on the propagation of electromagnetic waves". Journal of Electromagnetic Waves and Applications. 30 (8): 1049–1053. Bibcode:2016JEWA...30.1049B. doi:10.1080/09205071.2016.1169226. ISSN 0920-5071. S2CID 124221302

          本文受科普中國·星空計劃項目扶持

          出品:中國科協科普部

          監制:中國科學技術出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

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          評論
          無限探索者
          大學士級
          數學中的幾何理論和相關概念在物理理論中大顯身手,如今已經深入到大氣科學、信息科學等許多領域,也為幾何學帶來新的生命力。
          2023-09-21
          學無止境868
          太師級
          在近幾十年的發展過程中,現代物理學與現代幾何理論不僅相輔相成共同成長,而且還一同發展出許多通用性更強大的理論工具,廣泛服務于信息科學、經濟學、社會科學等領域。
          2023-09-21
          高高雁
          大學士級
          現代物理學與現代幾何理論相輔相成共同成長,發展出許多通用性更強大的理論工具,廣泛服務于信息科學、經濟學、社會科學等領域。
          2023-09-21
          韩国女主播裸奶头大尺度,久久久精彩视频,欧美99综合网,国产一级二级三级视频
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