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        1. 概率論不存在了?拋了35萬次硬幣后,他們發現兩面的結果不是1:1

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          這是一份最科學的拋硬幣教程。

          我們常會反復糾結某個問題而難以迅速作出決定,比如,今晚吃炸醬面還是麥當勞;又比如,要不要接受某個工作機會;或者是今晚要不要去跟 TA 表白……

          圖片來源:Giphy

          這時,很多人會拋個硬幣,用硬幣的正反面替自己做出選擇。甚至在一些重大場合,人們也常用拋硬幣來做重要決定,比如世界杯球賽中,裁判員會通過拋硬幣決定哪只隊伍先開球。

          圖片

          圖片來源:GIPHY

          初中數學課本告訴我們,拋一枚質地均勻的硬幣,得到正反面的概率相等。因此,人們認為硬幣替自己做出的選擇一定是公正的,沒有私心的。不少數學家也做過實驗證明,當拋硬幣次數足夠多時,得到正反面的頻次接近 1:1,包括曾拋了 2 萬多次硬幣的數理統計學創始者卡爾·皮爾遜(Karl Pearson)。

          但如果我現在告訴你,拋硬幣得到兩面向上的概率其實不相等,你又怎么看?

          兩面概率不相等

          最近,一群無聊的科學家聚在一起,用 46 種不同的硬幣拋了 350757 次,總耗時約 20 個小時。然后他們發現,拋出的硬幣落下后,向上的那一面和硬幣拋出前的初始面相同的概率略高,約為 51%。

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          他們就這樣拋了 20 個小時的硬幣。來源:Coin Tossing Team via YouTube

          也就是說,假如你將硬幣拋離手中時,它是正面向上,那最終硬幣落下時,其正面向上的概率更高,反之亦然。

          他們還發現,一些人拋硬幣得到和起始面相同的那一面的概率更高;而另一些人則更接近理論值,即得到兩面的概率都是 50%。他們將這項研究發表了在預印本網站 arXiv 上,還未經同行評審。

          很顯然,這說明,特定的拋硬幣方式,或許可以讓特定面向上的概率更高。

          那么,有沒有可能通過練習,讓拋出去的硬幣落下時,永遠是自己想要的那一面向上呢?

          理論上是可以的。

          數學家佩爾西?戴康尼斯(Persi Diaconis)在成為美國斯坦福大學的數學和統計學教授之前,曾做過魔術師。他經常研究與“賭博”相關的數學,比如如何洗牌、如何擲骰子,當然也包括如何拋硬幣。

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          熱衷于紙牌、骰子、輪盤等的斯坦福數學家佩爾西?戴康尼斯。圖片來源:Stanford University

          早在 2007 年,戴康尼斯和他的團隊就在論文中展示了一個拋硬幣裝置,這個裝置將硬幣拋出后落到指定位置,最終硬幣向上的那一面在 100%的情況下都與它的起始面相同。

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          戴康尼斯和同事做出的拋硬幣裝置,拋出的硬幣能100%得到與起始面相同的那一面。Diaconis et al, 2007

          而人類在用手拋硬幣時,也可以達到這樣的效果,比如一些魔術師就可以通過一些技巧控制拋硬幣的結果。

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          魔術師能控制拋硬幣的結果。來源:SCAM NATION via youtube

          其實如果掌握了原理,多加練習,你也可以做到。所以我們就先來學習一下原理,然后大家回家自己練習。

          首先我們需要知道,標準情況下,拋向空中的硬幣是怎樣運動的。

          忽略空氣阻力的影響,當我們將硬幣拋向空中,硬幣會沿著一個位于硬幣平面且平行于地面的“軸”,做翻轉運動。學過物理的朋友們可以很快反應過來,這個“軸”正好是硬幣旋轉的角動量(angular momentum)所在的直線。

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          來源:Numberphile via YouTube

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          來源:Numberphile via YouTube,制圖:冬鳶

          然后我們用一點簡單的中學物理來分析一下硬幣的運動。

          微信圖片_20231110163742.png

          圖片

          來源:wikiHow via YouTube

          所以只要你能精確控制硬幣的初速度、高度和翻轉速度,就能精確控制拋硬幣的結果(雖然可能有點強人所難)。

          如果我們在硬幣翻轉了整數次時,做出轉速ω關于時間t的圖像,可以得到很多條雙曲線,如下圖所示:

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          圖片來源:Diaconis et al, 2007

          假如硬幣初始面為正面,而翻轉速度和時間(ω,t)落在圖中的陰影里,最終正面向上;若是轉速和時間位于陰影之外的空白部分,結果則是反面朝上。

          但是,此時陰影部分的面積和空白部分的面積是相等的,得到正面和反面的概率仍然是 1:1。如果要出現上文提到的偏差,又該如何操作呢?

          運動

          以上分析是基于標準情況,拋出的硬幣沿著平行與地面的“軸”翻轉,也就是硬幣旋轉的角動量矢量平行于地面。

          但戴康尼斯指出,這只是一種特殊情況。實際上,很多人拋出的硬幣在空中旋轉時,角動量是與地面不平行的。

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          仔細觀察可以發現這枚硬幣在空中并不是繞著平行與地面的“軸”翻轉的。來源:Sound/Video Impressions via youtube

          我們可以用如下的模型來解釋:

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          圖片來源:Diaconis et al, 2007

          假設硬幣拋出時正面向上,則垂直于硬幣平面的法線( n )與角動量(M)會存在一個夾角(ψ),當硬幣轉動的軸與地面不平行(即 ψ 不為 90°)時,硬幣法線 n 就會繞著角動量 M 旋轉,這也叫進動(precession)。

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          戴康尼斯正在解釋硬幣翻轉中的進動。來源:Numberphile via YouTube

          若硬幣在拋出后的t時刻落回手上,當此時硬幣法線 N(t) 與垂直地面方向的向量 K 的夾角余弦 τ(t) 大于 0 時,硬幣正面向上;小于 0 時,反面向上(起始面為正面)

          而對于這個余弦 τ(t) ,我們可以用 τ(t)=cos2 ψ +sin2 ψcos(ωNt) 這個式子來計算,其中 ωN 為硬幣法線繞角動量旋轉的角速度。

          如果我們將硬幣的法線矢量N(t)在空中劃過的區域看做一個球面,在這樣的運動方式下,法線在上半球(正面向上)停留的時間是大于或等于在下半球(反面向上)停留的時間的。

          圖片

          圖片來源:Diaconis et al, 2007

          最終可以算出,如果硬幣的起始面為正面,那么硬幣落回手上時正面向上的概率與 ψ 的關系是:

          圖片

          用圖像表示就是

          圖片

          圖片來源:Diaconis et al, 2007

          由此可以直觀地看到,在硬幣初始面為正面時,只有當 ψ 為直角,硬幣落下時正面朝上的概率才是 1/2,其余情況下都大于 1/2。

          而當 ψ 小于 45°時,硬幣雖然也在旋轉,但實際上整個過程中,并沒有翻轉到另一面。因此,在這種情況下,不論硬幣拋得有多高,最終落下來時依然是和拋出時保持相同的一面向上——這便是拋硬幣魔術師所使用的手法。

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          魔術師拋出的硬幣在空中沒有翻轉至另一面。來源:SCAM NATION via YouTube

          而當 ψ 為 0°時,硬幣甚至可以沒有豎直方向的翻轉,完全直上直下。

          圖片

          來源:Numberphile via YouTube

          事實上,這種運動方式在我們生活中非常常見,比較典型的,就是我們的地球。地球在自轉的同時,赤道平面的法線也在繞一個軸轉動:

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          看這地球的旋轉像不像正在翻轉的硬幣?來源:Steven Sanders via youtube

          總結一下就是,因為很多人拋出的硬幣在空中翻轉時存在進動,導致在給定硬幣初始面的情況下,會使得最終硬幣落回手上時,正反面向上的概率不相等。

          不過,由于大多數人拋硬幣的時候,不會關注硬幣的起始面。因此,在起始面隨機的前提下,拋硬幣的最終結果,正反面概率仍然是 1:1(預印本論文中有證明過程)。

          所以,以后如果和別人拋硬幣打賭,你可以練一練上面教的拋硬幣技巧來“作弊”;如果是別人拋硬幣,那就讓他不要用手接,讓硬幣直接掉地上,因為這會使硬幣再彈起來,到空中再翻轉幾圈,使結果更加隨機。

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          硬幣掉在地上之后再彈起來。來源:Numberphile via YouTube

          參考文獻

          [1]https://statweb.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/dyn_coin_07.pdf

          [2]https://arxiv.org/abs/2310.04153

          [3]http://gauss.stat.su.se/gu/sg/2012VT/penny.pdf

          [4]https://en.wikipedia.org/wiki/Precession

          [5]https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum

          [6]https://en.wikipedia.org/wiki/Persi_Diaconis

          [7]https://www.youtube.com/watch?v=AYnJv68T3MM

          [8]https://www.youtube.com/watch?v=A-L7KOjyDrE

          [9]https://www.youtube.com/watch?v=qlVgEoZDjok

          [10]https://www.youtube.com/channel/UCZF_uxG9yEiuUkaFol16IBg

          策劃制作

          來源丨環球科學

          作者|冬鳶

          責編丨楊雅萍

          評論
          傳承解惑
          太師級
          在起始面隨機的前提下,拋硬幣的最終結果正反面概率仍然是 1:1,但如作弊,那只有隨心所遇了。
          2023-11-10
          smxh676
          太師級
          精確控制硬幣的初速度、高度和翻轉速度,就能精確控制拋硬幣的結果!
          2023-11-10
          CNAS 檢測實驗室
          少傅級
          硬幣落下后,向上的那一面和硬幣拋出前的初始面相同的概率略高,約為 51%。
          2023-11-10
          韩国女主播裸奶头大尺度,久久久精彩视频,欧美99综合网,国产一级二级三级视频
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